Instituto Tecnológico de Querétaro
Matemáticas Discretas
6.6 Aplicaciones de Grafos y Árboles
¿Qué es un grafo? Recordemos que un grafo G es el par (V, A) que representa una relación entre un conjunto de Vértices y otro de Aristas. Representaremos cada elemento arista como un par de elementos de V. Gráficamente representaremos los vértices por puntos y las aristas por líneas que los unen. Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir exactamente 2 vértices. Las aplicaciones más importantes de los grafos son las siguientes:
• Rutas entre ciudades.
• Determinar tiempos máximos y mínimos en un proceso.
• Flujo y control en un programa
EJEMPLOS DE APLICACIONES DE GRÁFICAS
Los grafos son la representación natural de las redes, en las que estamos cada vez más incluidos.
Los grafos son artefactos matemáticos que permiten expresar de una forma visualmente muy sencilla y efectiva las relaciones que se dan entre elementos de muy diversa índole. Un grafo simple está formado por dos conjuntos:
• Un conjunto V de puntos llamados vértices o nodos.
• Un conjunto de pares de vértices que se llaman aristas o arcos y que indican qué nodos están relacionados.
De una manera más informal podemos decir que un grafo es un conjunto de nodos con enlaces entre ellos, denominados aristas o arcos. En un grafo simple entre dos nodos sólo hay un arco. Si hay más de un arco hablamos de un multígrafo. Si los arcos se pueden recorrer en una dirección concreta pero no en la contraria lo llamamos grafo dirigido o dígrafo y los arcos son entonces aristas, si los arcos salen y llegan al mismo punto formando un bucle el grafo resultante se llama pseudografo.
A pesar de que un grafo parece una estructura muy elemental, hay muchísimas propiedades de los grafos cuyo estudio ha dado lugar a una completa teoría matemática. Fue Leonhard Euler quien ideó los grafos como una manera muy potente y elegante de resolver el problema de los puentes de Königsberg. Königsberg (hoy Kaliningrado en Rusia) era en tiempos de Euler (siglo XVIII) una ciudad prusiana cruzada por siete puentes. Durante la época se suscitó la cuestión no resuelta de si era posible recorrer toda la ciudad cruzando cada uno de los puentes una y sólo una vez. Si hacemos una representación esquemática de la ciudad vemos que los puentes unen cuatro porciones de tierra.
La búsqueda por prueba y error no conduce a ningún resultado. El problema de los puentes de Königsberg. Esta ciudad esta recorrida por el río Pregel que crea dos islas. ¿Se puede recorrer toda la ciudad pasando una sola vez por todos y cada uno de los 7 puentes que unen la parte insular de la ciudad con el resto? La solución de Euler. El famoso matemático abstrajo los detalles de la forma de la ciudad y sus puentes para quedarse con la conectividad, dando lugar a una de los primeros grafos.
El orden de todos los vértices es impar, lo que implica que es imposible recorrerlos pasando una sola vez por cada uno. Euler realizó una abstracción del problema representando mediante puntos las cuatro porciones de terreno y dibujando un arco entre cada dos puntos por cada puente. Llamó orden de cada vértice al numero de arcos que se reunían en el y se percató que el orden de cada vértice visitado en un recorrido sin saltos ha de ser par (sale un enlace y entra otro) excepto para dos puntos del grafo: aquellos donde se inicia y donde se acaba el recorrido, que han de tener orden impar. Si el vértice donde se inicia y se acaba son el mismo entonces todos los vértices han de ser de orden par. En el problema de Königsberg el orden de todos los nodos es 3, esto es impar, por lo que quedó claro que no existía solución para el problema. No había un camino que recorriese todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de ellos.
El interés de este ejemplo es que además de dar lugar a una teoría matemática muy potente los grafos se dibujan y resultan muy intuitivos, especialmente cuando los vértices son pocos. Ejemplos de grafos que todos conocemos son los organigramas que explicitan la estructura formal de la empresa, los árboles genealógicos o la circuitería de los chips electrónicos. Se usan regularmente para resolver problemas en la eficiencia del transporte, en sociología, electrónica y electricidad, detección de fraude y en general en aquellos campos en los que la conectividad es importante. De hecho vivimos en una sociedad interconectada en la que, por definición, las redes (que son simplemente una forma de grafos dirigidos en los que cada arco tiene un valor) forman cada vez más parte de nuestra experiencia diaria. Internet es el arquetipo de la red y su conectividad nos une a todos. Como anécdota, al parecer la captura de Saddam Hussein se realizó en parte gracias a la labor de construcción del grafo de su red de soporte, basada en las relaciones funcionales de Saddam con miembros de su partido pero sobre todo de las relaciones tribales y familiares que le unen a su ciudad natal de Tikrit.
solución de problemas por medio de gráficas. Gracias a las gráficas podemos resolver fácilmente problemas que aparentemente son muy complicados. Resolver problemas es la principal aplicación de las gráficas. A continuación mostraremos por medio de un ejemplo como resolver un problema por medio de las gráficas. Problema. ¿Es posible que en un departamento de 25 personas, clasificadas según su desacuerdo, cada persona congenie con exactamente otras 5? Para enfrentar el problema. ¿Dónde comenzar? Muchos problemas discretos se pueden resolver por medio de una grafica. Determinación de una solución. Un elemento fundamental al construir un modelo de gráfica es imaginar lo que esta debe ser: ¿Cuáles son los vértices y cuales las aristas? En este problema, no tenemos muchas opciones; tenemos personas y desacuerdos. Intentemos utilizar a las personas como vértices. En un modelo de gráfica, es común que las aristas indiquen una relación entre vértices. En este caso, la relación es “congeniar con”, de modo que escribiremos una arista entre los vértices (personas) si ellas congenian. Ahora supongamos que cada persona congenia con exactamente otras cinco. Por ejemplo, en la figura que se muestra a continuación donde se muestra parte de la gráfica, Tomás congenia con Samantha, Alexandra, Juan, Bertha, y Josefina, y nadie más. Tomás Samantha Alexandra Juan Bertha Josefina Esto implica que el grado de cada vértice es 5. Ahora la situación se resume así: Tenemos 25 vértices. En este caso y cada vértice tiene grado 5. Antes de continuar veamos si esto es posible. El corolario dice que existe un número par de vértices de grado impar. Tenemos una contradicción, pues existe un número impar de vértices de grado impar. Por lo tanto, no es posible que en departamento de 25 personas clasificadas según sus desacuerdos, cada persona congenie con exactamente otras cinco. Solución formal. No es posible que en un departamento de 25 personas clasificadas según sus desacuerdos, cada persona congenie con exactamente otras 5. Supongamos por contradicción que esto es posible. Consideremos una gráfica donde los vértices sean las personas y una arista conecte 2 vértices (personas) si las personas congenian. Como cada vértice tiene grado impar, existe un número impar de vértices de grado impar, lo cual es una contradicción. Resumen de técnicas para resolver problemas.
