3.4 Inducción Matemática

Una proposición p(n) es verdadera para todos los valores de la variable

n si se cumplen las siguientes condiciones :

Paso 1.- La proposición p(n) es verdadera para n = 1 , o bien, p(1) es verdadera.

Paso 2.- Hipótesis de Inducción . Se supone que p(k) es verdadera , donde k es un

numero natural cualesquiera.

Paso 3.- Tésis de Inducción. Se demuestra que p(k + 1) es verdadera, o bien,

p(k) verdadera ⇒ p(k + 1) verdadera.

La t´ecnica de Inducci´on Matemática consiste en los tres pasos anteriores. Si se

necesita demostrar la validez de una proposici´on p(n) para todos los valores naturales

n, entonces es suficiente que se cumplan: Paso 1, Paso 2 y Paso 3 .

Comentario: Intuitivamente la idea anterior se conoce con el nombre de “Efecto

Dominó”. Si imaginamos una fila infinita de fichas de dominó: dispuestas verticalmente

y suficientemente próximas una cualquiera de la siguiente , entonces si el

volteamiento de la primera ficha provoca el volteamiento de la segunda ficha, por el

Principio de Inducción Matemática la fila completa es volteada.

Existen dos variantes utiles sobre el Principio de Inducción Matemática que deben

ser considerados . En la primera variante, la proposición por demostrar involucra

los naturales no menores a un natural fijo no, en este caso el Principio de Inducción

quedaria como sigue:

Si p(n) es verdadera para no y si p(m + 1) es verdadera para todo natural m ≥ n0

para la cual p(m) es verdadera, entonces p(n) es verdadera para todo natural n ≥ n0.

BIBLIOGRAFIA: