Definición

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

 

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:

{ a, b, c, ..., x, y, z}

Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas (,).

El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos.

En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:

El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.

NOTACIÓN: Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo:

A={ a, c, b } B={ primavera, verano, otoño, invierno }

El símbolo Є indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo como Є

 

 

 

 

 

Conjunto Universo, Vacío

 

UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL: El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:

U={ 1, 2, 3, 4, 5 }.

 

CONJUNTO VACÍO: Es un conjunto que carece de elementos. Se suele llamarle conjunto nulo, y se le denota por el símbolo ø o { }.

Ejemplos:

A = { Los perros que vuelan }   A= { }   A= Ø

B = { x / x es un mes que tiene 53 días}  B = { }  B= Ø

 

 

Números Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales y Reales

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Los números naturales "N" Son los números que se usan para contar los elementos de un conjunto (0,1,2,3,4,5,6,7[…]) en ese conjunto no hay términos medios. Con estos números se pueden hacer operaciones como  sumarse, restarse , multiplicarse y dividirse.

 

 

 

Los números enteros "Z" son un conjunto de números que incluye a los números naturales

distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al cero, 0.

Los enteros negativos, como −1 ó −3 (se leen "menos uno", "menos tres", etc.), son menores que

todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas.

Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas.

 

Los números racionales "Q" se llama número racional a todo número que puede representarse

como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término racional alude a ración o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional.

 

Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo,

el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número

decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3).

 

Los números Irracionales  son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones.

Pi, o como se lo conoce mejor con su símbolo π, este es el más conocido de los números irracionales, y se utiliza en su mayoría para matemáticas, física e ingeniería. Su valor es el cociente entre la longitud o perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. De él se han calculado millones de cifras decimales y aún sigue sin ofrecer un patrón. La aproximación de su número es 3.141592653589...

 

Los números reales no son más que el conjunto de los numero racionales y los números irracionales. Con los números reales podamos acometer operaciones tales como las sumas (interna, asociativa, conmutativa, de elemento opuesto, de elemento neutro…) o las multiplicaciones. En este último caso habría que subrayar que en lo que respecta a la multiplicación de los signos de los números el resultado sería el siguiente: + por + equivale a +; – por – es igual a +; – por + da como resultado -; y + por – es igual a -.

 

Los  números Imaginarios son números cuya potenciación es negativa. Es decir que cuando se eleva al cuadrado o se multiplica por sí mismo, su resultado es negativo. Si se eleva al cuadrado a cualquier otro número real su resultado siempre será positivo. Por ejemplo cinco al cuadrado o 5², es decir 5 × 5 da como resultado 25. En su defecto, -5² a pesar de ser un número negativo su resultado también será positivo debido a que -5 × -5 anula su negatividad y da como resultado 25.

 

Por lo tanto un número potenciado que de resultado negativo solo puede suceder en la imaginación, pero a pesar de parecer imposibles los números complejos e imaginarios son muy útiles y tienen una utilidad real para resolver problemas que de otra manera serían un fracaso.

 

Subconjuntos

 

Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }

En este caso decimos que B está contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.

Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe BA. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal ₵ .

Note que Є se utiliza solo para elementos de un conjunto y solo para conjuntos.

 

Conjuntos Potencia

 

Dado un conjuntos, se llama conjunto potencia o conjunto de partes de S (se denota por P(S) o 2s) al conjunto de todos los subconjuntos de S. En la teoría de conjuntos basada en los Axiomas de Zermelo-Fraenkel, la existencia del conjunto potencia se establece por el axioma del conjunto potencia.

Por ejemplo, si S= {a, b, c} entonces el conjunto potencia de S es

P(S) = {{ }, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}...